Question

（2012•相城区一模）已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，若分割得到的三角形与Rt△OAB相似，则符合条件的C点有

3

个．

Answer 1

分析：按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当∠BOA为公共锐角时，只存在∠PCO为直角的情况；当∠B为公共锐角时，存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况．如图，C₁（3，0），C₂（6，4），C₃（6，

7

4

）．

解答：解：过P作PC₁⊥OA，垂足是C₁，
则△OC₁P∽△OAB．
点C₁坐标是（3，0）．（2分）
过P作PC₂⊥AB，垂足是C₂，
则△PC₂B∽△OAB．
点_C2坐标是（6，4）．（4分）
过P作PC₃⊥OB，垂足是P（如图），
则△C₃PB∽△OAB，
所以BC₃：BO=BP：BA．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，
所以BC₃=

25

4

，AC3=8-

25

4

=

7

4

．（8分）
所以C₃（6，

7

4

）．（9分）
符合要求的点C有3个．
故答案为3．

点评：本题考查了相似三角形的性质．此题实质上是画直角三角形OAB的相似三角形，只不过所画的相似三角形点P已经确定了，所以要根据网格找出三边的长，再利用对应边的比相等，画出相似三角形．