Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-6x+k=0的两个实数根，且x₁²x₂²-x₁-x₂=115．
（1）求k的值；
（2）求x₁²+x₂²+8的值．

Answer 1

解：（1）∵x₁，x₂是方程x²-6x+k=0的两个根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=k，
∵x₁²x₂²-x₁-x₂=115，
∴k²-6=115，
解得k₁=11，k₂=-11，
当k₁=11时，△=36-4k=36-44＜0，
∴k₁=11不合题意
当k₂=-11时，△=36-4k=36+44＞0，
∴k₂=-11符合题意，
∴k的值为-11；
（2）∵x₁+x₂=6，x₁x₂=-11
∴x₁²+x₂²+8=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+8=36+2×11+8=66．
分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x₁²x₂²-x₁-x₂=115．即x₁²x₂²-（x₁+x₂）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
（2）根据（1）即可求得x₁+x₂与x₁x₂的值，而x₁²+x₂²+8=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+8即可求得式子的值．
点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0?方程有两个不相等的实数根；
②△=0?方程有两个相等的实数根；
③△＜0?方程没有实数根．
（2）根与系数的关系是：x₁+x₂=，x₁x₂=．
根据根与系数的关系把x₁²x₂²-x₁-x₂=115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键．