Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，⊙O经过B，C，D三点，与AB交于另一点E．
（1）请你仔细观察图形，连接图中已表明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段AE相等；
（2）在图中，过点E作⊙O的切线，交AD于点F；
①求证：EF²=FD•FC；
②若AF=DF，求sinA的值．

Answer 1

解：（1）连接CE；
证明：连接DE；
∵∠ABC=90°，
∴CE是⊙O的直径；
∴∠CDE=90°；
又∵AD=CD，
∴AE=CE．
（还可以连接OD，利用中位线定理证AE等于⊙O的直径，或连接BD，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证AD=BD，∠A=∠DBA，∠DBA=∠ACE）

（2）①证明：∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥EC；
∴△CEF∽△EDF；
∴=，即EF²=FD•FC．

②∵AF=DF，AD=CD，
∴FD=FC，∴EF²=FC²；
∴=，
∴sin∠ACE=；
又∵EA=EC，
∴∠ACE=∠A；
∴sin∠A=．
分析：（1）本题可利用点D是AC中点的条件进行求解；连接CE、DE；由∠ABC=90°知：CE必为⊙O的直径；则DE⊥AC，又D是AC的中点，因此DE垂直平分AC，因此CE和AE相等．
（2）欲证EF²=FD•FC，即证=，则证明△CEF∽△EDF即可．
（3）由（1）知：∠A=∠ACE，因此只需在RT△CEF中求出sin∠ACE的值即可．
点评：本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，涉及的知识点较多，综合性较强．