Question

若关于x的方程x²+4x-a+3=0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a=2012时，设方程的两根为x₁、x₂，求x₁²+3x₁-x₂的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程x²+4x-a+3=0有实数根，
∴△=b²-4ac=16-4×1×（-a+3）≥0，
解得：a≥-1；

（2）a=2012时，方程为x²+4x-2009=0，
∵方程的两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-4，x₁²+4x₁-2009=0，
∴x₁²+4x₁=2009，
∴x₁²+3x₁-x₂=x₁²+4x₁-（x₁+x₂）=2009-（-4）=2013．
分析：（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于a的不等式，解不等式即可；
（2）首先把a=2012代入关于x的方程x²+4x-a+3=0中得x²+4x-2009=0，再利用根与系数的关系即可算出x₁²+3x₁-x₂的值．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．