Question

【问题】在正方形网格中，如图（一），△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△OA′B′，并写出点A'、B'的坐标：A′（______，______），B′（______，______）；
（2）在（1）中，若点C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标（______，______）；
【拓展】在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P'在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
【探索】如图（二），完成下列问题：
（3）填空：如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（______，______）；
（4）如图2，△ABC是边长为3cm的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到△ADE，求线段BD的长．

Answer 1

解：（1）∵以点O（0，0）为位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′，
∴如图所示：A′（3，6），B′（6，-3）；
故答案为：3，6；6，-3；

（2）根据（1）中规律可以得出：若点C（a，b）为线段AB上任一点，
故变化后点C的对应点C′的坐标为：（3a，3b）；
故答案为：3a，3b；

（3）这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，
故可得A（2，60°）．
故答案为：（2，60°）；

（4）已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD=×3=4（cm），
可推出∠BAD=90°，
利用勾股定理可求出BD==5（cm）．
分析：（1）利用已知画出位似图形，进而得出A′，B′的坐标即可；
（2）利用（1）中点的坐标变化规律得出即可；
（3）依题意已知1中△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，故可得A的坐标．
（4）利用△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD=90°，利用勾股定理可求出BD的值．
点评：此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识，利用相似变换的性质得出对应点的坐标是解题关键．