Question

如图，在直角梯形中OABC，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM．若没运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似？
（2）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
（3）连接ME，在上述运动过程中，五边形MECBD的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先用t表示出BD、BM的长，由于△BDM、△AOB共用∠ABO，若以B、D、M为顶点的三角形△OAB与相似，则有两种情况：①△BAO∽△BDM，②△BAO∽△BMD；可根据不同相似三角形所得的不同比例线段求出t的值．
（2）过M作MF⊥AB于F，易证得△BFM∽△BAO，即可根据相似三角形所得比例线段求得MF的长，进而可得到△BDM的面积表达式；由于∠BDN=∠OED=∠OCB，易证得△BDN∽△OBC，可求得△BOC的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到△BDN的面积，然后分两种情况讨论：
①M点在线段ON上，此时0＜t≤5，△DMN的面积为△BDM的面积减去△BDN的面积，由此得到y、t的关系式；
②M点在线段BN上，此时5＜t＜8，△DMN的面积为△BDN的面积减去△BDM的面积，由此得到y、t的关系式．
（3）易求得OB=OC=10，即可知BM=OE=10-t，而BD=OM=t，且∠DBM=∠MOE，即可证得△BDM≌△OME，因此五边形的面积可转化为△OBC的面积，因此五边形的面积是定值，以OC为底、OA为高，即可求得△OCB的面积，也就是这个定值的大小．

解答：解：（1）若△BAO∽△BDM，则

BA

BD

=

BO

BM

，（1分）
即

8

t

=

10

10-t

，解得t=

40

9

；（2分）
若△BAO∽△BMD，

BA

BM

=

BO

BD

，（3分）
即

8

10-t

=

10

t

，解得t=

50

9

；（4分）
所以当t=

40

9

或t=

50

9

时，以B，D，M为顶点的三角形与△OAB相似．

（2）过点M作MF⊥AB于F，则△BFM∽△BAO；
从而

MF

6

=

10-t

10

，所以MF=6-

3

5

t，（5分）
S_△BDM=

1

2

BD•MF=

1

2

t（6-

3

5

t），（6分）
△BDN∽△OBC，S_△OBC=

1

2

×10×6=30，

S△BDN

S△OBC

=（

t

10

）²，所以S_△BDN=

3

10

t²（7分）
①当0＜t≤5时，y=S_△DMN=S_△BDM-S_△BDN=

1

2

t（6-

3

5

t）-

3

10

t²=-

3

5

t²+3t；
②当5＜t＜8时，y=S_△DMN=S_△BDN-S_△BDM=

3

10

t²-

1

2

t（6-

3

5

t）=

3

5

t2-3t．（8分）

（3）在△BDM与△OME中，
BD=OM=t，∠MBD=∠EOM，BM=EO=10-t，
所以△BDM≌△OME；（9分）
从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，
S_MECBD=30．（10分）

点评：此题考查的知识点有：直角梯形的性质、相似三角形及全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（2）题中一定要根据M、N的不同位置分类讨论，以免漏解．