Question

（1）在等腰三角形ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F．若AE=4，FC=3，求EF长．
（2）如图，将?ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
①求证：△ABF≌△ECF；
②若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形性质、等腰三角形性质、直角三角形斜边上中线性质求出∠EBD=∠C，BD=DC=AD，求出∠ADE=∠BDF，∠EDB=∠FDC，证△EBD≌△FCD，△ADE≌△BDF，求出DE=3，DF=4，根据勾股定理求出EF即可；
（2）①推出平行四边形ABEC，推出AF=EF，BF=CF，根据SSS证两三角形全等即可；
②求出FA=FB，推出AE=BC，根据矩形的判定推出即可．

解答：（1）解：∵ABC中AB=BC，∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴∠A=∠C=45°，CD=AD，
∴BD=CD=AD，BD平分∠ABC，
∴∠EBD=45°=∠C，
∵BD⊥AC，DE⊥DF，
∴∠BDC=∠EDF=90°，
∴∠BDC-∠BDF=∠EDF-∠BDF，
∴∠EDB=∠FDC，
∵在△EDB和△FDC中

∠EBD=∠C BD=DC ∠EDB=∠FDC

∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴FC=DE=3，
同理△AED≌△BFD，
∴DF=AE=4，
在Rt△EDF中，由勾股定理得：EF=

32+42

=5；

（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CD=CE，
∴AB∥CE，AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AF=FE，BF=FC，
∵在△ABF和△ECF中

AB=EC AF=FE BF=CF

∴△ABF≌△ECF（SSS）；
②证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠FAB，
∵∠ABC=∠FAB，
∴AF=FB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=2AF，BC=2BF，
∴AE=BC，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴四边形ABEC是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质等知识点的综合运用．