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(2010•拱墅区二模)如图,在Rt△ABC中,已知∠ACB=90°,O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆与AB边交于点D,连接CD,若CD恰好是⊙O的切线:
(1)求证:△CAD是等腰三角形;
(2)若AC=3,BC=5,求⊙O的半径r.

【答案】分析:(1)连接OD,根据切线的性质,∠CDO=90°,所以∠1与∠4互余,又因为△ABC是直角三角形,所以∠2与∠3互余,在圆中半径相等,所以∠1=∠2,从而证得∠3=∠4,所以△CAD是等腰三角形.
(2)利用(1)的结论,知道DC=3,在Rt△CDO中,利用勾股定理,列出方程,即可求出r.
解答:(1)证明:连接OD,则∠1=∠2,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠CDO=90°,
∴∠1与∠4互余,
在Rt△ABC中,∠2与∠3互余,
∴∠3=∠4,
∴AC=CD,
即△CAD为等腰三角形.

(2)解:由(1)知,AC=CD=3,
又BC=5,所以OC=5-r,
在Rt△CDO中:CD2+OD2=CO2
即32+r2=(5-r)2
解得r=1.6.
点评:本题考查了圆的切线性质,及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题.
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