Question

如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=180°-∠BFE=90°，
又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∴△ABF∽△DFE，

（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE==，
∴设DE=a，EF=3a，DF==2a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，
又由（1）△ABF∽△DFE，
∴===，
∴tan∠EBF==，
tan∠EBC=tan∠EBF=．
分析：（1）根据矩形的性质可知∠A=∠D=∠C=90°，△BCE沿BE折叠为△BFE，得出∠BFE=∠C=90°，再根据三角形的内角和为180°，可知∠AFB+∠ABF=90°，得出∠ABF=∠DFE，即可证明△ABF∽△DFE，
（2）已知sin∠DFE=，设DE=a，EF=3a，DF==2a，可得出CE=EF=3a，CD=DE+CE=4a，AB=4a，∠EBC=∠EBF，由（1）中△ABF∽△DFE，可得tan∠EBC=tan∠EBF==．
点评：本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明方法，以及直角三角形中角的函数值，难度适中．