Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ．点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=8-2t，PD=$\frac{4}{3}$t，AD=$\frac{5}{3}t$；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）在运动过程中，将△ABC沿直线PD翻折后点A落在直线AC上的点E处，若DE恰好经过线段PQ中点M，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，求得QB与PD的值，利用勾股定理可得AD；
（2）由（1）AD的长可求得BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形，然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）连接DM并延长，分别交直线BC，AC于F，G两点，易得△PDM≌△QFM，得QF，CF的长，当DE经过点M时，E与G重合，CG=2PA-AC=2t-6，∠DGP=∠DAP，利用正切得FC=$\frac{4}{3}GC$，解得t．

解答 解：（1）∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{{BC}^{2}{+AC}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}{+6}^{2}}$=10，
∵动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，
∴CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵tanA=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴PD=$\frac{4}{3}$t，
∵PD∥BC，
∴PD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{{PD}^{2}{+PA}^{2}}$=$\frac{5}{3}$t，
故答案为：8-2t，$\frac{4}{3}t$，$\frac{5}{3}t$；

（2）不存在．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴$AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=10$．
∴BD=AB-AD=10-$\frac{5}{3}$t．
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=$\frac{4}{3}$t，解得：t=$\frac{12}{5}$，
当t=$\frac{12}{5}$时，PD=$\frac{4}{3}$×$\frac{12}{5}$=$\frac{16}{5}$，BD=10-$\frac{5}{3}$×$\frac{12}{5}$=6，
∴DP≠BD
∴□PDBQ不能为菱形，
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=$\frac{4}{3}$t，BD=10-$\frac{5}{3}$t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即$\frac{4}{3}$t=10-$\frac{5}{3}$t，解得：t=$\frac{10}{3}$，
当PD=BQ时，t=$\frac{10}{3}$，即$\frac{4}{3}$×$\frac{10}{3}$=8-$\frac{10}{3}$v，解得：v=$\frac{16}{15}$，
∴点Q的速度为每秒$\frac{16}{15}$个单位长度，经过$\frac{10}{3}$秒，四边形PDBQ是菱形；

（3）连接DM并延长，分别交直线BC，AC于F，G两点，
∵PD∥BC，
∴$\left\{\begin{array}{l}{∠DPM=∠FQM}\\{∠PDM=∠MFQ}\\{PM=MQ}\end{array}\right.$，
∴△PDM≌△QFM（AAS），
∴QF=PD=$\frac{4}{3}$t，
∴F在边BC上，G在边AC的延长线上，
CF=CQ-QF=$\frac{2}{3}t$
当DE经过点M时，E与G重合，CG=2PA-AC=2t-6，∠DGP=∠DAP，
∵$tan∠DAP=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，
∴$tan∠DGP=\frac{FC}{GC}=\frac{4}{3}$，
∴$FC=\frac{4}{3}GC$，即$\frac{2}{3}t=\frac{4}{3}×（2t-6）$，
解得t=4．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及锐角三角函数，解题的关键是注意数形结合思想的应用．