Question

如图，在?ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME．
（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°，求?ABCD的面积；
（2）若BC=2AB，求证：∠EMD=3∠MEA．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），进而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，进而得出答案．

解答：（1）解：∵M为AD的中点，AM=2AE=4，
∴AD=2AM=8．在?ABCD的面积中，BC=CD=8，
又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=

1

2

BC=4，
∴AB=6，CE=4

3

，
∴?ABCD的面积为：AB×CE=6×4

3

=24

3

；

（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在?ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM=∠N，
在△AEM和△DNM中
∵

∠AEM=∠N AM=DM ∠AME=∠DMN

，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM=MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，
∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．
∵在平行四边形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，
∴DC=MD，
∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，
∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，
即∠EMD=3∠AEM．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．