Question

26、如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．
求证：（1）AH=AB；（2）猜想EF与BE、DF的关系并给出证明．

Answer 1

分析：（1）求证AH=AB，无法直接证明三角形ABE和AHE全等，那么可构建全等三角形来求解．将正方形ABCD顺时针旋转90°，AD和AB重合，从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论；
（2）要求EF，BE，DF的关系，可以通过全等将BE，DF转化为EH，HF来求解．

解答：解：（1）如果，将正方形ABCD以A为顶点，以AD为边顺时针旋转90°与AB重合．设旋转后的正方形为AD₁C₁B₁那么B与D₁重合．且E₁，B，E三点共线．
由旋转的性质可知∠E₁AF=2∠EAF=90°，AF=AE₁
∴∠E₁AE=90°-45=45°=∠EAF．
三角形AE₁E和AEF中，
∵∠E₁AE=∠EAF，AF=AE₁，AE=AE，
∴△AE₁E≌△AFE．
∵AH，AB为两三角形对应边EF，E₁E上的高，
∴AH=AB．

（2）由（1）得，AH=AB．
在直角三角形AHF和AFD中，
∵AH=AB，AF=AF，
∴△AHF≌△ADF（HL）．
∴HF=DF．
由（1）得出的全等三角形可知：BE=EH．
∴EF=EH+HF=BE+DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定和正方形的性质，当无法直接证得与所求线段相关的三角形全等时可以通过其他方法（如旋转，作辅助线等）来构建全等三角形，实现线段的相等或转换．