Question

5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对边BC，AD交于点F，AB、DC交于点E，△ECF的外接圆与⊙O的另一交点为H，AH与EF交于点M，MC与⊙O交于点C．证明：
（1）M为EF的中点；
（2）A、G、E、F四点共圆．

Answer 1

分析 （1）先判断出△HMF∽△FMA即可得出MF²=MH×MA，同理：ME²=MH×MA即可得出结论；
（2）先判断出四边形CENF是平行四边形，进而判断出A、E、N、F四点共圆．，A、G、E、N四点共圆，即可得出A、G、E、N、F五点共圆．得证．

解答 证明：（1）如图，
连结EH、CH、FH．
∴∠FAM=∠DAH=∠DCH，
∵E、C、H、F四点共圆，
∴∠HFM=∠DCH
∴∠HFM=∠FAM，
∴△HMF∽△FMA，
∴$\frac{MF}{MA}=\frac{MH}{MF}$，
∴MF²=MH×MA，
同理：ME²=MH×MA，
∴ME=MF．
∴M为EF的中点；
（2）延长CM到N，使MN=MC，连接EN，FN，AG，EG，
由（1）知，ME=MF，
∴四边形CENF是平行四边形，
∴∠ENF=∠ECF=∠BCD=180°-∠EAF，
∴A、E、N、F四点共圆．，
∵∠GAE=∠GAB=∠GCB=∠FCN=∠ENC=∠ENG，
∴A、G、E、N四点共圆，
∴A、G、E、N、F五点共圆．
∴A、G、E、F四点共圆．

点评 此题是四点共圆，主要考查的四点共圆的性质和判定，相似三角形的性质，平行四边形的性质和判定，圆的性质，解本题的关键是四边形CENF是平行四边形，难点是作出辅助线．是一道难度不大的竞赛常考题．