Question

在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=

1. A.
   3
2. B.
   0
3. C.
   4
4. D.
   

Answer 1

D
分析：当以AB为弦的圆C与x轴相切时，∠APB最大．设点C（x，y），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．
解答：解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．
在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．
故此时∠APB最大．
连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．
∵CP=CA=CB，
∴y²=x²+（y-4）²=（x-3）²+（y-8）²，
由y²=x²+（y-4）²，得8y=x²+16 ①，
由y²=（x-3）²+（y-8）²，得x²-6x+73-16y=0 ②，
①代入②，整理得x²+6x-41=0，
解得x₁=5-3，x₂=-5-3（不合题意舍去）．
故选D．
点评：本题主要考查了圆周角定理，切线的性质及两点间的距离公式，有一定难度．作出符合要求的圆C是解题的关键．