Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c过点A（-1，0）、B（3，0）且与y轴交与点C，点D为抛物线对称轴x=l上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；
（3）有这样的点D能使△ACD为直角三角形吗？若能，求出点D的坐标；若不能请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c过点A（-1，0）、B（3，0），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）如图，连接BC交对称轴与点D，连接AD，则AD=BD，
此时AD+CD=BD+CD=BC最小．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y=-x+3，
令x=1，y=-1+3=2，
∴点D的坐标为（1，2）；

（3）有这样的点D能使△ACD为直角三角形，理由如下：
如果△ACD为直角三角形，可分三种情况讨论：
①当∠ACD=90°时，如图，过点D作DE⊥y轴于点E．
在△CED与△AOC中，
∵∠DCE=∠CAO=90°-∠OCA，∠DEC=∠COA=90°，
∴△CED∽△AOC，
∴=，即=，
∴CE=，
∴OE=OC-CE=3-=，
∴点D的坐标为（1，）；
②当∠CAD=90°时，如图，设抛物线的对称轴x=l与x轴交于点F．
在△DFA与△AOC中，
∵∠DAF=∠ACO=90°-∠FAC，∠DFA=∠AOC=90°，
∴△DFA∽△AOC，
∴=，即=，
∴DF=，
∴点D的坐标为（1，-）；
③当∠CDA=90°时，如图，过点D作DG⊥y轴于点G，设D的坐标为（1，m）．
在△CGD与△AFD中，
∵∠CDG=∠ADF=90°-∠ADG，∠CGD=∠AFD=90°，
∴△CGD∽△AFD，
∴=，即=，
整理，得m²-3m+2=0，
解得m=1或m=2，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，2）．
综上所述，点D的坐标为（1，）或（1，-）或（1，1）或（1，2）．
分析：（1）将A（-1，0）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax²+2x+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于A与B关于抛物线的对称轴得出，所以连接BC交对称轴与点D，则此时AD+CD最小．运用待定系数法求出直线BC的解析式，令x=1，求出y的值，即可得到点D的坐标；
（3）△ACD为直角三角形时，分三种情况讨论：①∠ACD=90°；②∠CAD=90°；③∠CDA=90°．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．在一个三角形中没有明确哪一个角是直角时，应分情况讨论．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．