Question

13．如图，直线y=mx与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于Q点，点A，点B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，点P在OQ延长线上，且PA∥y轴，PB∥x轴，且连结AQ，BQ，已知B（3，4）．
（1）若点A的纵坐标为$\frac{9}{4}$，求反比例函数及直线OP的表达式；
（2）连结OB，在（1）的条件下，求sin∠BOP的值；
（3）请猜想：$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△BPQ}}$的值是否会随m的变化而变化？若不变，请求出这个值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点B可得反比例函数解析式，继而可得点A的坐标，根据PA∥y轴，PB∥x轴知点P坐标，即可求直线OP解析式；
（2）由O、B、P三点坐标求得OB、OP、BP的长，根据S_△BOP=$\frac{1}{2}$BP•y_P=$\frac{1}{2}$OB•OP•sin∠BOP可求得sin∠BOP的值；
（3）已知B（3，4），设P（$\frac{4}{m}$，4），A（$\frac{4}{m}$，3m），联立方程组求得点Q坐标，表示出$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△BPQ}}$整理化简即可知．

解答 解：（1）∵B（3，4）在y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{k}{3}$，
∴k=12，
∴y=$\frac{12}{x}$，
当y=$\frac{9}{4}$时，x=$\frac{16}{3}$，
∴A（$\frac{16}{3}$，$\frac{9}{4}$）．
∵PA∥y轴，PB∥x轴，
∴P（$\frac{16}{3}$，4）．
代入y=mx，得$\frac{16}{3}$m=4，
∴m=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x；

（2）∵B（3，4），P（$\frac{16}{3}$，4），
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$，OP=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，BP=$\frac{16}{3}$-3=$\frac{7}{3}$．
∵S_△BOP=$\frac{1}{2}$BP•y_P=$\frac{1}{2}$OB•OP•sin∠BOP，
∴sin∠BOP=$\frac{BP•{y}_{P}}{OB•OP}$=$\frac{7}{25}$；

（3）由题意，得B（3，4），P（$\frac{4}{m}$，4），A（$\frac{4}{m}$，3m）．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{m}}\\{y=mx}\end{array}\right.$得Q（$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{m}}$，2$\sqrt{3m}$）
∴$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△BPQ}}$=$\frac{\frac{1}{2}（4-3m）（\frac{4}{m}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{m}}）}{\frac{1}{2}（\frac{4}{m}-3）（4-2\sqrt{3m}）}$=$\frac{\frac{1}{m}（4-3m）（4-2\sqrt{m}）}{\frac{1}{m}（4-3m）（4-2\sqrt{m}）}$=1，
∴$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△BPQ}}$的值不变，为1．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，根据已知条件表示出或设出相关点的坐标是根本，掌握交点坐标的求法及三角形面积的不同求法是解题关键．