Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b²-4ac＞0；③b＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1，其中正确结论的是（　　）

• A、①②
• B、①③⑤
• C、②③⑤
• D、①②⑤

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：利用自变量为1时函数值为负数可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点的各数对②进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴为直线x=-1，得到b=2a＜0，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-2，0）与（-3，0）之间，则x=-2时，函数值为正数，则可对④进行判断；由抛物线与y轴交于（0，1）得到c=1，加上a＜0，则可对⑤进行判断．

解答：解：∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＜0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（0，0）与（1，0）之间，
而抛物线对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-2，0）与（-3，0）之间，
∴x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，所以④错误；
∵抛物线与y轴交于（0，1），
∴c=1，
而a＜0，
∴c-a=1-a＞1，所以⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．当△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．