Question

（2009•庆阳）（附加题：如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分记入总分，但记入总分后全卷得分不得超过150分，超过按150分算．）
如图是二次函数y=-x²+2的图象在x轴上方的一部分，若这段图象与x轴所围成的阴影部分面积为S，试求出S取值的一个范围．

Answer 1

【答案】分析：由于阴影部分为抛物线和坐标轴构成，初中阶段没有公式可利用，只能利用“（1）S在△ABC面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间，（2）这段图象在图示半径为、2的两个半圆所夹的圆环内”的特点来进行估算其取值范围．
解答：解：
方法一：
由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．（2分）
显然，S在△ABC面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间．（3分）
∵S_△ABC=4，（4分）
S_⊙O=2π，（5分）
∴4＜S＜2π．（6分）
说明：关于半圆⊙O的面积大于图示阴影部分面积的证明，如下（对学生不要求）：
设P（x，y）在图示抛物线上，则
OP²=x²+y²=（4-2y）+y²=（y-1）²+3．
∵0≤y≤2，
∴3≤OP²≤4．
∴点P在半圆x²+y²=3、x²+y²=4所夹的圆环内，以及点P为内圆周点（，1）与外圆周点A、B、C．
∴半圆⊙O的面积大于图示阴影部分的面积．
由于内半圆的面积为S_⊙O-，
∴＜S＜2π．
如果学生能得出此结论，可在上面结论基础上，加（4分）．
方法二：
由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．（2分）
显然，这段图象在图示半径为、2的两个半圆所夹的圆环内，以及过内半圆上点
P（，1）与半外圆上点A、B、C．（5分）
∴S在图示两个半圆面积之间．（7分）
即π•（）²＜S＜π•2²．（9分）
∴＜S＜2π．（10分）
点评：此题考查了同学们的估算能力，用不同的图形为标准可得到不同的取值范围，有利于培养同学们的创新思维能力．当以后学习了积分，可直接求的阴影部分的准确值．