Question

1．已知A、B两点在数轴上表示的数分别为1，2，设P₁为线段AB的中点，P₂为AP₁的中点，P₁为AP₂的中点，…，P₁₀₀为AP₉₉的中点．若记P₁，P₂，…，P₁₀₀对应的各数之和为S，则与S最接近的整数为101．

Answer 1

分析 根据数轴及中点的定义分别表示出P₁，P₂，…，P₁₀₀对应的各数，再计算其和S，则S=AP₁+AP₂+AP₃+…+AP₁₀₀=1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{4}$+1+$\frac{1}{8}$+…+1+$\frac{1}{{2}^{100}}$，对于$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，根据设未知数，利用倍数和差求其接近的值为1，最后得出结论．

解答 解：P₁表示的数为：AP₁=1+$\frac{1}{2}$，
P₂表示的数为：AP₂=1+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$，
P₃表示的数为：AP₃=1+$\frac{1}{8}$=1+$\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
P₁₀₀表示的数为：AP₁₀₀=1+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
∴S=AP₁+AP₂+AP₃+…+AP₁₀₀，
=1+$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{4}$+1+$\frac{1}{8}$+…+1+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
=100+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$，
设a=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$①，
则2a=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}}$②，
②-①得：a=1-$\frac{1}{{2}^{100}}$，
则S=100+1-$\frac{1}{{2}^{100}}$≈101，
则与S最接近的整数为101．

点评 本题考查了数轴上两点的距离、中点的定义及有理数的加法，本题还考查了规律计算问题，不单是有理数的加法，是利用恰当的方法对$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$进行计算，找出它接近的整数；从而得出结论．