Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以HF为直径的圆与AB、BC、CD、DA相切，切点分别是E、F、G、H．其中H为AD的中点，F为BC的中点．连接HG、GF．
（1）若HG和GF的长是关于x的方程x²-6x+k=0的两个实数根，求⊙O的直径HF（用含k的代数式表示），并求出k的取值范围．
（2）如图，连接EG，DF．EG与HF交于点M，与DF交于点N，求的值．

Answer 1

解：（1）∵HG和GF的长是关于x的方程x²-6x+k=0的两个实数根，
∴HG+GF=6，HG•GF=k，
又∵HF为圆O的直径，∴△FHG为直角三角形，由勾股定理得：HG²+GF²=HF²，
即HF²=（HG+GF）²-2HG•GF=36-2k，
∴HF=，
∵方程x²-6x+k=0的两个实数根，
∴△=36-4k＞0，
∴k＜9；

（2）∵H为AD的中点，F为BC的中点，
∴AH=HD，BF=FC
∵AH=AE，HD=DG
∴AE=DG，EB=GC
∴AD∥BC∥EG
∵=，=
∴MN=，GN=
∴==•
∵==
∴=1
∵EM=MG
∴=．
分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形HGF，再根据勾股定理以及根与系数的关系求得HF的长，根据一元二次方程根的判别式求得k的取值范围；
（2）先利用平行线等分线段定理求得=1，再根据垂径定理可知EM=MG，从而利用合比性质求得=．
点评：主要考查了一元二次方程中根的判别式、等腰梯形的性质、平行线等分线段定理和圆中的有关性质．第（2）问的解题关键是利用平行线等分线段定理先求得CN与NM之间的等量关系，再根据垂径定理找到GN和NE之间的关系．