Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0）且满足4a+2b+c＞0．以下结论①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²中，正确的是________．

Answer 1

①②③④
分析：①，因为抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），把点（-1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；
②，②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；
③，画草图可知c＞0，结合a-b+c=0，可整理得-a+b+c=2c＞0，从而求得-a+b+c＞0；
④，把（-1，0）代入解析式得a-b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c-2a＞0，故可得出（c+2a）（c-2a）＞0，即b²-2ac-5a²＞0，进而可得出结论．
解答：①因为抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），
所以原式可化为a-b+c=0----①，
又因为4a+2b+c＞0----②，
所以②-①得：3a+3b＞0，
即a+b＞0；
故①正确；
②，②+①×2得，6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴a+c＞-a，
∵a＜0，
∴-a＞0，
故a+c＞0；
故②正确；
③因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax²+bx+c（a＜0）当x=2时的值大于0，草图为：
可见c＞0，
∵a-b+c=0，
∴-a+b-c=0，
两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c，
整理得-a+b+c=2c＞0，
即-a+b+c＞0；
故③正确；
④∵过（-1，0），代入得a-b+c=0，
∴b²-2ac-5a²=（a+c）²-2ac-5a²=c²-4a²=（c+2a）（c-2a）
又∵4a+2b+c＞0
4a+2（a+c）+c＞0
即2a+c＞0①
∵a＜0，
∴c＞0
则c-2a＞0②
由①②知（c+2a）（c-2a）＞0，
所以b²-2ac-5a²＞0，
即b²-2ac＞5a²
故④正确；
综上可知正确的是①②③④．
故填：4．
点评：此题是一道结论开放性题目，考查了二次函数的性质、一元二次方程根的个数和图象的位置之间的关系，同时结合了不等式的运算，是一道难题．