Question

如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．
求证：BD•CF=CD•DF．

Answer 1

分析：根据要证明的结论分析得，需要证明△FDB∽△FCD，∵∠F=∠F，再求得一个角相等即可，又CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，∴DE=AE．通过外角及对顶角的性质即可求得∠FBD=∠FDC，由如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似即可证得相似，根据相似三角形的对应边成比例求得．

解答：证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，
∴DE=CE=AE=

1

2

AC，
∴∠EDA=∠A．
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠A=∠FDB．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A=∠FCD，
∴∠FDB=∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
∴BD：CD=DF：CF．
∴BD•CF=CD•DF．

点评：此题主要题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．