Question

8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点F（2$\sqrt{3}$，0），直角GF交y轴正半轴于点G，且∠GFO=30°．
（1）请直接写出点G的坐标；
（2）若⊙O的半径为1，点P是直线GF上的动点，直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B．
①求切线长PB的最小值；
②在直线GF上是否存在点P，使得∠APB=60°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到OF=2$\sqrt{3}$，解直角三角形即可得到结论；
（2）①连接OPOP，根据切线的性质得到OB⊥PB，当OP⊥GF时，线段PO最短，解直角三角形得到OP=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=2；
②根据切线的性质和角平分线的定义得到∠OPB=30°，求得OP=2，点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，由于点P₁与点G（0，2）重合，即P₁（0，2），推出△GOP₂是等边三角形求得FP₂=2，即可得到结论．

解答 解：（1）∵F（2$\sqrt{3}$，0），
∴OF=2$\sqrt{3}$，
∵∠GFO=30°，
∴OG=2，
∴点G的坐标是（0，2）；

（2）①连接OPOP，如图，
∵PB切⊙OO于点BB，
∴OB⊥PB，
根据勾股定理得PB²=OP²-OB²，
∵OB=1，
∴要使BP的值最小，则需OP的值最小，当OP⊥GF时，线段PO最短，
 在Rt△PFO，OF=2$\sqrt{3}$，∠GFO=30°，
∴OP=$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
②存在，
∵PA、PB均与⊙O相切，
∴OP平分∠APB，
∵∠APB=60°，
∴∠OPB=30°，
∵OB=1，∴OP=2，
∴点P是以点O为圆心，2为半径的圆与直线GF的交点，
 即图中的P₁、P₂两点，连接OP₂，
∵OG=2，
∴点P₁与点G（0，2）重合，即P₁（0，2），
 在Rt△GOF中，∠GFO=30°，
∴∠OGF=60°，
∵OG=OP₂，
∴△GOP₂是等边三角形，
∴GP₂=OG=2，已知GF=4，
∴FP₂=2，
∴P₂为GF的中点，
∴P₂（$\sqrt{3}$，1），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，2）或（$\sqrt{3}$，1）．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．