Question

9．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
（1）直接写出：最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）设这个“和平数”为$\overline{abcd}$，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
（3）设任意的两个“相关和平数”为$\overline{abcd}$，$\overline{badc}$（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到$\overline{abcd}$+$\overline{badc}$=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．

解答 解：（1）由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；

（2）设这个“和平数”为$\overline{abcd}$，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②、当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为2754和4848．

（3）设任意的两个“相关和平数”为$\overline{abcd}$，$\overline{badc}$（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
则$\overline{abcd}$+$\overline{badc}$=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

点评 本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．