Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=10，DC切⊙O于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：BC=EC；（2）若，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
由DC是切线，得OC⊥DC，
又AD⊥DC，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO．
又由OA=OC，
得∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠BAC，
∴，
∴BC=EC．

（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=∠BEC，
∴AC=AB•cos∠BAC=AB•cos∠BEC=8，
∴，
∴，
又∵∠DAC=∠BAC=∠BEC，且AD⊥DC，
∴．
分析：（1）连接OC．根据切线的性质，得OC⊥DC，结合已知条件，得AD∥OC，根据两条直线平行，内错角相等，得∠DAC=∠ACO，再根据同圆的半径相等，得∠BAC=∠ACO，从而得到∠DAC=∠BAC，再根据圆周角定理得到它们所对的弧相等，进一步得到弧所对的弦相等；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC．根据圆周角定理，得∠BAC=∠BEC，从而利用解直角三角形的知识求得BC的长，再利用CD=AC•sin∠DAC求解．
点评：此题综合运用了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形的知识等．连接过切点的半径是圆中常见的辅助线．在圆中，要证明两条弦相等，可以证明它们所对的圆周角相等或圆心角相等．