Question

15．如图，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（-3，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t （t≥0）秒．
（1）求点E的坐标；
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出点E的坐标；
（2）如图1所示，当∠PAE=15°时，可得∠APO=60°，从而可求出PO=$\sqrt{3}$，求出QP，即可得出t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，只有一种情况，也就是⊙P与AE边相切，且切点为点A，如图2所示，求出PE，得出QP，继而可得t的值．

解答 解：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=45°，
∴OE=AO=3，
∴点E的坐标为（3，0）；

（2）如图1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=45°，
∴∠APO=∠PAE+∠AEO=60°，
∴OP=AOtan30°=$\sqrt{3}$，
∴QP=3+$\sqrt{3}$，
∴t=3+$\sqrt{3}$（秒）；

如图2，∵∠AEO=45°，∠PAE=15°，
∴∠APE=30°，
∵AO=3，
∴OP=3÷$\frac{\sqrt{3}}{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴t=QP=OQ+OP=（3$\sqrt{3}$+3）s；
∴t=（3+$\sqrt{3}$）s或（3+3$\sqrt{3}$）s．

（3）∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，
∴点A为切点，如图3所示：

∵AO=3，∠AEO=45°，
∴AE=3$\sqrt{2}$
∴PE=$\frac{AE}{cos45°}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6，
∴QP=QE-PE=6-6=0，
∴当⊙P与四边形AEBC的边AE相切时，Q，P重合，t的值为0．
∵PA是⊙P的半径，且⊙P与AE相切，
∴点A为切点，如图4所示：

当点P与O重合时，⊙P与AC相切，
∴t=3秒；

当PA=PB时，⊙P与BC相切，
设OP=x，则PB=PA=5-x，
在Rt△OAP中，x²+3²=（5-x）²，
解得：x=1.6，
∴t=3+1.6=4.6（秒）；
∴t=0或3或4.6秒时，⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切．

点评 本题考查了圆的综合，涉及了圆与直线的位置关系、锐角三角函数的定义及外角的性质，难点在第三问，关键是判断出符合题意的情况，然后画出图形，难度较大．