Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

Answer 1

（1）见解析；（2）AP的长为或6.

试题分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC.
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.
试题解析：
（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得：.
∴.
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB.
∴AB=BP，点B为线段AB中点.
∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.