Question

2．在矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=4，E为AB上一点，F为CD上一点．将矩形纸片沿EF折叠，使得点A恰落在线段BC上，标为点G．
（1）如果BG=x，AE=y，写出y关于x的关系式并给出定义域；
（2）设FD=z，试写出z关于x的关系式（不必写定义域）
（3）E在AB上运动，F在CD上运动时，有没有可能使得直线GP和直线AD的夹角为30°？如可能，求出此时x的值；如不可能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，利用勾股定理在Rt△BEG中列式可求得y关于x的关系式；如图2时，当F与D重合时，BG的值最大，
求出此时的最大值为：x=AE=4-2$\sqrt{3}$，写出结论；
（2）证明△BEG∽△CGP和△BEG∽△HFP，列比例式，再把y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1代入即可得出z关于x的关系式；
（3）由∠PMD=30°，可依次推得：∠BEG=30°，则EG=2BG，即y=2x，得方程为：$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2x，解出即可．

解答 解：（1）如图1，由折叠得：EG=AE=y，则BE=2-y，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理得：EG²=BE²+BG²，
y²=（2-y）²+x²，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1，
如图2，当F与D重合时，BG的值最大，
由折叠得：DG=AB=4，
在Rt△DGC中，DC=2，
CG=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴x=AE=4-2$\sqrt{3}$，
∴y关于x的关系式为：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1（0≤x≤4-2$\sqrt{3}$）；
（2）如图1，∵∠EGP=90°，
∴∠BGE+∠PGC=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BGE+∠BEG=90°，
∴∠PGC=∠BEG，
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEG∽△CGP，
∴$\frac{BG}{CP}=\frac{BE}{CG}$，
∴$\frac{x}{CP}=\frac{2-y}{4-x}$，
∴CP=$\frac{x（4-x）}{2-y}$，
∴FP=CD-DF-CP=2-z-$\frac{x（4-x）}{2-y}$，
同理得：△BEG∽△HFP，
∴$\frac{BE}{HF}=\frac{EG}{FP}$，
∴BE•FP=FH•EG，
∴（2-y）•[2-z-$\frac{x（4-x）}{2-y}$]=yz，
z=$\frac{1}{4}{x}^{2}-2x+1$；
（3）存在，使直线GP和直线AD的夹角为30°，如图3，
∵∠PMD=30°，
∴∠DPM=60°，
∴∠GPC=∠DPM=60°，
∵∠C=90°，
∴∠PGC=30°，
∵∠EGP=90°，
∴∠BGE=60°，
∴∠BEG=30°，
∴EG=2BG，
即y=2x，
由（1）得：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1，
∴$\frac{1}{4}{x}^{2}$+1=2x，
解得：x₁=4+2$\sqrt{3}$＞4（不符合题意，舍），x₂=4-2$\sqrt{3}$，
∴当x=4-2$\sqrt{3}$时，直线GP和直线AD的夹角为30°．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形、折叠的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理；熟练掌握折叠前后的两边相等，两角相等，利用相似列比例式或利用勾股定理列等式，与方程相结合，列函数关系式或一元二次方程求解．