Question

如图，点A（m，m＋1），B（m＋1，2m－3）都在反比例函数的图象上．

（1）求m，k的值； 
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

Answer 1

（1）m＝3，k＝12；（2）或

解析试题分析：（1）根据反比例函数图象上的点的坐标的特征可得，即可求得结果；
（2）存在两种情况，①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，根据平行四边形的性质求解即可.
（1）由题意可知，
解得m₁＝3，m₂＝－1（舍去）
∴A（3，4），B（4，3）；
∴k＝4×3＝12；
（2）存在两种情况，如图：
 
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M₁点坐标为（x₁，0），N₁点坐标为（0，y₁）．
∵四边形AN₁M₁B为平行四边形，
∴线段N₁M₁可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的
由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（4，3），
∴N₁点坐标为（0，1），M₁点坐标为（1，0）
设直线M₁N₁的函数表达式为，把x＝1，y＝0代入，解得．
∴直线M₁N₁的函数表达式为；
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M₂点坐标为（x₂，0），N₂点坐标为（0，y₂）． 
∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB＝N₁M₁，AB＝M₂N₂，
∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁＝M₂N₂．   
∴线段M₂N₂与线段N₁M₁关于原点O成中心对称．
∴M₂点坐标为（-1，0），N₂点坐标为（0，-1）．
设直线M₂N₂的函数表达式为，把x＝-1，y＝0代入，解得，
∴直线M₂N₂的函数表达式为 
所以，直线MN的函数表达式为或．
考点：反比例函数的综合题
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.