Question

已知点A（1，）在抛物线y=x²+bx+c上，点F（-，）在它的对称轴上，点P为抛物线上一动点.

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）判断是否存在直线l，使得线段PF的长总是等于点P到直线l的距离，需说明理由.

（3）设直线PF与抛物线的另一交点为Q，探究：PF和QF这两条线段的倒数和是否为定值？证明你的结论.

Answer 1

.⑴ 由=，a=，得b=             

         把b =和点A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=.

         ∴这条抛物线的解析式是y=x²+x.     

⑵设点P（x₀，y₀），则y₀=x₀²+x₀.

作PM⊥AF于M，

得 PF²=PM²+MF²

      = (x₀+)²+ (y₀-)²

  又∵y₀=x₀²+x₀

=(x₀+)²-

  ∴(x₀+)²=3y₀+

  ∴PF²=3y₀++ y₀²- y₀+=( y₀+1)².

 易知y₀≥-，y₀+1＞0. ∴PF= y₀+1.      

又∵当直线l经过点（0，-1）且与x轴平行时，

y₀+1即为点P到直线l的距离.

∴存在符合题意的直线l.              

⑶ 是定值.

证明：当PF∥x轴时，PF=QF=，.   

  当PF与x轴不平行时，作QN⊥AF于N，

  ∵ △MFP∽△NFQ，∴.

 再依据第⑵小题的结果，可得. 

  整理上式，得 .