Question

如图，点C（1，0）是x轴上一点，直线PC与双曲线交于点P，且∠PCB=30°，PC的垂直平分线交x轴于点B，如果BC=4．
（1）求双曲线和直线PC的解析式．
（2）设P′点是直线PC上一点，且点P′与点P关于点C对称，直接写出点P′的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，过P作PE⊥x轴于E，
设BE=a，
∵B在PC的垂直平分线上，
∴PB=BC=4，
∴∠PCB=∠BPC=30°，
∴∠PBE=30°+30°=60°，
∴∠EPB=30°，
∴PE=BE=a，
a+4=PE，
∴a+4=×a，
解得：a=2，
OE=2+（4-1）=5，PE=a=2
即P的坐标是（-5，2），
代入y=得：k=-10，
∴反比例函数的表达式是y=-，
设直线PC的解析式是y=mx+b
把P、C的坐标代入得：，
解得：m=-，b=，
∴直线PC的表达式是y=-x+．

（2）过P′作P′E′⊥x轴于E′，
∵根据对称的性质P′E′=PE=2，CE′=CE=5+1=6，
∴OE′=6+1=7
P′的坐标是（7，-2）．
分析：（1）过P作PE⊥x轴于E，设BE=a，求出CE=a，根据垂直平分线性质和三角形的外角性质求出∠EPB=30°，推出PE=BE，得出方程a+4=×a，求出a，即可得出P的坐标，
代入y=即可求出反比例函数的表达式，设直线PC的解析式是y=mx+b把P、C的坐标代入得出方程组，求出m和b的值，即可得出直线PC的表达式；
（2）根据对称的性质求出P′E′=PE=2，CE′=CE=5+1=6，求出OE′，即可得出P′的坐标．
点评：本题考查了对称性质、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，含30度角的直角三角形性质，解二元一次方程组等知识点，本题题型比较好，综合性比较好，有一定的难度．