Question

6．如图，OA、OB是两条射线，点C、D分别在OA、OB上，CD⊥OA，垂足为点C，OC=4，OD=5，若⊙P与OA、OB、CD都相切，则⊙P的半径是1或2．

Answer 1

分析 分两种情形分别求解即可：①如图当⊙P在△ODC内部时，②当⊙P′在△ODC外部时．

解答 解：如图当⊙P在△ODC内部时，设切点分别为E、F、T，连接PE、PF、PT．则四边形PFCT是正方形．
在Rt△ODC中，∵OC=4，OD=5，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=3．
易知内切圆半径=$\frac{OC+CD-OD}{2}$=1，
当⊙P′在△ODC外部时，设切点分别为G、R、H．
∵DG=DR，CR=CH，OG=OH，
OG+OH=OD+OC+CD=12，
∴OG=6，
∵tan∠EOP=$\frac{EP}{OE}$=$\frac{GP′}{OG}$，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{GP′}{6}$，
∴GP′=2．
综上所述，⊙P的半径为1或2．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、切线长定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，则有中考填空题中的压轴题．