Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，AE平分∠BAD，交BC于E．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若∠ABC=60°，BC=3AD，求证：∠CDE=90°．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠3，
∵AE是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3，
∴AD=AB=BE，且AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE，
∴四边形ABED是菱形；

（2）作DF∥AE，交BC于点F，
由（1）知，△ABE是正三角形，
∴∠EDF=∠AED=∠1=60°，
又∵BC=3AD，
∴EF=DF=FC，
∴∠CDF=∠EFD=30°，
∴∠CDE=90°．
分析：（1）首先由AD∥BC与AE是角平分线，易证得：AD=AB=BE，且AD∥BE，即可证得：四边形ABED是平行四边形，继而证得：四边形ABED是菱形；
（2）首先作辅助线：作DF∥AE，交BC于点F，由△ABC是正三角形，求得：∠EDF=∠AED=∠1=60°，又由BC=3AD，易得EF=DF=FC，则可证：∠CDE=90°．
点评：此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定以及直角三角形的判定等知识．题目综合性较强，但难度适中，注意数形结合思想的应用．