Question

情境创设：
如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=

90

°．
问题探究：
如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；
（2）根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，EP=FQ．
（3）与（2）证法类似求出EP=FQ，求出△EPG≌△FQG即可．

解答：解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠EDF，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠ADE=180°-90°=90°，
故答案为：90；
（2）解：EM=FN，如图2，
理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA，∠BAE=90°，
∴∠BAH+∠MAE=90°，
∵AH⊥BC，EM⊥AH，
∴∠AME=∠AHB=90°，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∴∠ABH=∠MAE，
在△EAM与△ABH中

∠AME=∠AHB ∠EAM=∠ABH AE=AB

∴△EAM≌△ABH（AAS），
∴EM=AH．
同理AH=FN． 
∴EM=FN；

（3）解：EG=FG，
如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，
由（2）可得EP=FQ，
∵EP⊥HG，FQ⊥HG，
∴∠EPG=∠FQG=90°，
在△EPG和△FQG中

∠EPG=∠FQG ∠PGE=∠FGQ EP=FG

∴△EPG≌△FQG，
∴EG=FG．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．