Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

(1)求证：四边形AFCE是菱形；

(2)若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 cm²，求△ABF的周长；

(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²＝AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本题满分12分 　　解：(1)证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO 　　∵AD∥BC 　　∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO 　　∴△AOE≌△COF 　　∴AE＝CF，又AE∥CF 　　∴四边形AECF是平行四边形　2分 　　∵AC⊥EF 　　∴四边形AECF是菱形　4分 　　(2)∵四边形AECF是菱形 　　∴AF＝AE＝10 cm 　　设AB＝a，BF＝b， 　　∵△ABF的面积为24 cm2 　　a＋b＝100，ab＝48　6分 　　(a＋b)＝196a＋b＝14或a＋b＝－14(不合题意，舍去)　7分 　　△ABF的周长为a＋b＋10＝24 cm　8分 　　(3)存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点　9分 　　证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP 　　∴△AOE∽△AEP 　　∴ 　　∴AE＝AO·AP　11分 　　∵四边形AECF是菱形， 　　∴AO＝AC 　　∴AE＝AC·AP 　　∴2AE＝AC·AP　12分