Question

如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，ts时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为Scm²．
（1）当t=3s时，求S的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

解：
（1）当t=3秒时，如图1所示，设PR与BC交于点M，则QB=3，BR=QR-QB=5
∵Rt△RBM∽Rt△RQP
∴，即
∴BM=
∴S=（QP+BM）•QB=×（4+）×3=（平方厘米）．

（2）当0≤t≤4时，如图1所示，则QB=t，BR=8-t
由（1）知，即．
∴BM=．
∴S=
当4＜t≤8时，如图2所示，设PR分别与DA、CB交于点M、N，则
QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴=，即，
∴AM=．
∵Rt△RBN∽Rt△RQP，
∴，即，
∴BN=
∴S=
当8＜t≤12时，如图3所示，设PR交DA于点M，则QB=t，RB=t-8，AR=4-RB=12-t．
∵Rt△RAM∽Rt△RQP
∴，即
∴AM=
∴S=
综上所述，S=

（3）当t=4时PQ与DA重合，再向左移动，则重叠部分梯形的面积减小．故t=4s时，重叠部分面积S有最大值，并且S的最大值为12平方厘米．
分析：（1）当t=3秒时，QB=3，BR=QR-QB=5．根据Rt△RBM∽Rt△RQP中的成比例线段，可求得BM=．所以S=（QP+BM）•QB=（平方厘米）．
（2）同（1），当0≤t≤4时，如图1所示，则QB=t，BR=8-t所以BM=即S=-t²+4t；当4＜t≤8时，QB=t，BR=8-t，QA=t-4，AR=AB+BR=4+（8-t）=12-t，所以AM=，BN=，即S=AM•AR=-t²+4t（8＜t≤12）；
（3）当t=4时，重叠部分面积S有最大值，并且S的最大值为12平方厘米．
点评：主要考查了正方形和二次函数的综合题．要掌握数形结合的方法，会利用二次函数的最值找到几何图形着的动点问题的最值．注意分段函数的表示方法即求算方法．