Question

20．如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点N在抛物线上，直线NB交y轴与点M，∠NBO=∠ABO，求证：△BMO≌△BAO并求出N的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点D（2，-2），在坐标平面内有一点P，使△POD∽△NOB（点P、O、D分别与点N、O、B对应），求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入可求得a和b的值，可求得抛物线解析式．
（2）由轴对称的性质可证明△AOB≌△COB，可求得M点坐标，再利用待定系数法可求得直线BM的解析式，与抛物线的交点即为N点；
（4）将△NOB沿x轴翻折，由三角形相似和全等可求得 $\frac{O{P}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，则可求得P点的坐标，再把△OP₁D沿直线y=-x翻折，由对称性可得另一个满足条件的点P．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4），
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
根据轴对称性质得出∠MOB=∠AOB，
在△AOB和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOB=∠ABO}\\{OB=OB}\\{∠MBO=∠ABO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COB（ASA），
∴OM=OA=3，
∴点M（0，3），
∴可设直线CB的解析式为y=kx+3，过点B（4，4），代入可得4=4k+3，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴直线CB的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3，
∵点N在直线CB上，
∴设点N（n，$\frac{1}{4}$n+3），
又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合题意，舍去），
∴N点的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）；

（3）如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，则N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），
∵B₁（4，-4），D（2，-2），
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{O{P}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴点P₁的坐标为（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）；
将△OP₁D沿直线y=-x翻折，由对称性可得另一个满足条件的点P₂（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$），
综上所述，点P的坐标是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数交点坐标，学会利用翻折条件辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．