Question

四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分线段AC，∠ABC=90°，AC交BD于O，
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BH⊥AC于H，AH=1，BH=3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC，
∠DAO=∠BCO，
BD平分线段AC，
∴AO=CO，
∠AOD=∠COB（对顶角），
∴△AOD≌△COB，
∴BO=DO，
已知∠ABC=90°，AO=CO，
∴BO=AO=CO=DO，
即BD=AC且互相平分，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）已知∠ABC=90°，BH⊥AC，
所以在直角三角形ABC中，
得BH²=AH•CH，
3²=1•CH，∴CH=9，
在直角三角形AHB和直角三角形BHC中由勾股定理得：
AB²=AH²+BH²=1²+3²=10，
BC²=BH²+CH²=3²+9²=90，
所以，AB=，BC=3，
又证得四边形ABCD是矩形，
所以四边形ABCD的面积为：AB•BC=×3=30．
答：四边形ABCD的面积是30．
分析：（1）先由AD∥BC，得∠DAO=∠BCO，再由BD平分线段AC，得AO=CO，∠AOD=∠COB（对顶角），可推出△AOD≌△COB?
BO=DO，已知∠ABC=90°，AO=CO，所以推出BO=AO=CO=DO，即BD=AC且互相平分，得证．
（2）已知∠ABC=90°，BH⊥AC，所以得BH²=AH•CH，求出CH，根据够股定理，在直角三角形AHB和直角三角形BHC中求出AB和BC从而求出四边形ABCD的面积．
点评：此题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理．解题的关键是：
（1）由已知证明△AOD≌△COB和直角三角形斜边上的中线定理得BO=AO=CO=DO．
（2）先由已知∠ABC=90°，BH⊥AC，所以得BH²=AH•CH，求出CH，再由勾股定理求出AB和BC．