分析 （1）延长BF与CD交与点G，易证OD=OF，CO=BO，即可证明△BOF≌△COD，可得BF=CD；
（2）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD进而得出想BF=CD成立；
（3）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而得出$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
解答 解：（1）如图①延长BF与CD交与点G，
∵O是等腰直角△DEF斜边EF中点，
∴EF⊥AB，OD=OF，
∵O是等腰直角△ABC斜边AB中点，
∴CO=BO，
∵在△BOF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=BO}\\{∠BOF=∠COD}\\{DO=FO}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD，（SAS）
∴BF=CD；
故答案为：BF=DC；
（2）猜想：BF=CD．理由如下：
如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．
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如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1+∠2=260°，求∠A的度数是80°．
如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B=∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．
如图是由四个大小相同的正方体搭成的几何体，其中不是这个几何体的三视图的是（ ）
如图，AB∥CD，直线EF交AB、CD于点G、H．如果GM平分∠BGF，HN平分∠CHE．