Question

如果三个完全平方数之和能被9整除，那么可以从这三个数中选出两个来，使得这两个完全平立数之差也能被9整除．

Answer 1

分析：利用分类讨论的方法，首先根据同余理论，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．然后将其分别平方，即可得到：任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．又由所选的三个完全平方数之和能被9整除，所以可得是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．从而得证这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．

解答：解：下面我们先来讨论任意的完全平方数被9除的余数．
根据同余理论，我们知道，任何一个整数总可以表示成：9k，9k±1，9k±2，9k±3及9k±4这九种情况中的一种．
现在将这九种情况分别平方，于是可得：（9k）²=9×9k²+0；（9k±1）²=9（9k²±2k）+1；
（9k±2）²=9（9k²±4）+4；（9k±3）²=9（9k²±6k+1）+0及（9k±4）²=9（9k²±8k+1）+7．
可见，任何一个完全平方数被9除的余数只可能是0，1，4，7这四种情况之一．
另一方面，由于所选的三个完全平方数之和能被9整除，因此这三个数的余数之和也一定能被9整除；而从0、1、4、7这四个数中选出三个，其和要能被9整除，只可能是{0，0，0}、{1，1，7}、{1，4，4}或{4，7，7}这四种情况中的一种．
而在上面这四种可能的余数组合中，每一组都至多有两种余数，因此至少有两个完全平方数被所9除的余数相同，从而这两个余数相同的完全平方数之差就一定能被9整除．

点评：本题考查抽屉原理的应用，难度较大，关键是分类讨论法的应用，这种方法经常在证明时使用，同学们要注意掌握．