Question

对于正数x，规定f（x）=

x2

1+x2

，如f（1）=

1

1+1

=

1

2

（1）计算f（2）=______；f（

1

2

）=______；f（2）+f（

1

2

）=______；f（3）+f（

1

3

）=______；…
（2）猜想f（x）+f（

1

x

）=______，请予以证明．

Answer 1

（1）f（2）=

4

1+4

=

4

5

；f（

1

2

）=

1 4

1+ 1 4

=

1

5

，f（2）+f（

1

2

）=

4

5

+

1

5

=1；f（3）+f（

1

3

）=

9

1+9

+

1 9

1+ 1 9

=

9

10

+

1

10

=1；
（2）猜想f（x）+f（

1

x

）=1，
理由为：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=

x2+1

x2+1

=1．
故答案为：（1）

4

5

；

1

5

；1；1；（2）1