Question

如图，ABCD是面积为a²的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接A₁B₁C₁D₁各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直到得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：连接对角线，运用三角形中位线定理探索规律求解．
解答：解：连接AC，BD．
∵四边形A₁B₁C₁D₁是顺次连接各中点得到的，
∴===，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比为，面积比为，即S_△BB1AI=S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=S_△DD1C1，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=（S_△DD1C1+S_△BCA）=S_{四边形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=S_{四边形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=S_{四边形ABCD}，
则S_{四边形A1B1C1D1}=S_{四边形ABCD}=，
同理可得第二个小四边形的面积为×即．
第三个面积为，以此类推第n个四边形的面积为．
点评：此题属规律性题目，解答此题的关键是求出四边形A₁B₁C₁D₁的面积，再依此类推求出第二，第三个四边形的面积，找出规律，即可求得第n个四边形的面积．