Question

10．在一堂学习解直角三角形课时，刘老师准备了道具：两根定在一起的木条，一根AC长20厘米，另一根AB长30厘米．（如图所示）刘老师进行了如下提问：（（1）、（2）、（3）直接填空，（4）写过程）
（1）当两根木条垂直时，△ABC的面积是300cm²；
（2）当两根木条成30°夹角时，△ABC的面积是150cm²；
（3）当两根木条成夹角为α时（α是锐角），△ABC的面积是300sinαcm²；
（4）同学们认真思考两根木条成150°夹角时，△ABC的面积是多少？

Answer 1

分析 （1）直接根据三角形面积公式求解；
（2）作CH⊥AB于H，如图1，在Rt△ACH中，利用正弦可计算出CH=10，然后根据三角形面积公式计算；
（3）作CH⊥AB于H，∠BAC=α，如图2，利用正弦定义得到CH=20sinα，根据三角形面积公式得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$CH•AB=300sinα（cm²）；
（4）作CH⊥AB于H，∠BAC=150°，如图3，则∠CAH=30°，在Rt△ACH中利用正弦定义得到CH=10，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：（1）S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×20×30=300（cm²）；
（2）作CH⊥AB于H，如图1，∠BAC=30°，

在Rt△ACH中，∵sinA=$\frac{CH}{AC}$，
∴CH=20sin30°=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$×10×30=150（cm²）；
（3）作CH⊥AB于H，∠BAC=α，如图2，

在Rt△ACH中，∵sinA=$\frac{CH}{AC}$，
∴CH=20sinα，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$×20sinα×30=300sinα（cm²）；
（4）作CH⊥AB于H，∠BAC=150°，如图3，

则∠CAH=30°，
在Rt△ACH中，∵sin∠CAH=$\frac{CH}{AC}$，
∴CH=20sin30°=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$CH•AB=$\frac{1}{2}$×10×30=150（cm²）．
故答案为300cm²，150cm²，300sinαcm²．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．