Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=kx-3，且tan∠ACO=$\frac{1}{3}$．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．设点P的横坐标为t，PQ的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接 PB、PC，当S_△PBC=6时，求点 P坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得A、C两点的坐标，代入抛物线解析式可求得b、c的值，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC解析式，则可用t分别表示出P、Q两点的坐标，可求得d与t的函数关系式，由P在直线BC上方可求得t的取值范围；
（3）当P点在x轴上方时，可先用待定系数法用含t的式子求得直线PC解析式，设直线PC交x轴于点M，则可用t表示出M点坐标，可得到BM的长，从而可用t表示出△PBC的面积，可求得t的值，求得P点坐标，当P点在x轴下方时，可先求得直线PB的解析式，设直线PB交y轴于点N，则可用t表示出NC的长，从而可表示出△PBC的面积，从而可求得t的值，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）在y=kx-3中，令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），
∴OC=3，
∵tan∠ACO=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{OA}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
把A、C两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），
∴直线BC解析式为y=x-3，
∵PQ∥y轴交直线BC于点Q，且点P的横坐标为t，
∴P（t，t²-2t-3），Q（t，t-3），
∵点P是直线BC上方的抛物线上一点，
∴PQ=t²-2t-3-（t-3）=t²-3t，
即d=t²-3t，
由图象可知t＜0或t＞3；
（3）①当点P在x轴上方时，如图1，连接PC交x轴于点M，

设直线PC解析式为y=kx+m，把P、C坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3=tk+m}\\{-3=m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=t-2}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直线PC解析式为y=（t-2）x-3，
令y=0可得0=（t-2）x-3，解得x=$\frac{3}{t-2}$，
∴M（$\frac{3}{t-2}$，0），
∴BM=3-$\frac{3}{t-2}$=$\frac{3（t-3）}{t-2}$，
∵S_△PBC=6，
∴$\frac{1}{2}$BM•（t²-2t-3+3）=6，即$\frac{1}{2}$×$\frac{3（t-3）}{t-2}$×t（t-2）=6，
整理可得t²-3t-4=0，解得t=-1或t=4，
当t=-1时，t²-2t-3=0，此时P点即为A点，坐标为（-1，0），
当t=4时，t²-2t-3=5，此时P点坐标为（4，5），
②当点P在x轴下方时，如图2，连接PB交y轴于点N，

设直线PB解析式为y=gx+n，把P、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t-3=tg+n}\\{0=3g+n}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{g=t+1}\\{n=3（t+1）}\end{array}\right.$，
∴直线PB解析式为y=（t+1）x+3（t+1），
令x=0可得y=3（t+1），
∴N（0，3（t+1）），
∴CN=3（t+1）-（-3）=3（t+2），
∵S_△PBC=6，
∴$\frac{1}{2}$CN•（3-t）=6，即$\frac{1}{2}$×3（t+2）×（3-t）=6，
整理可得t²-t-2=0，解得t=-1或t=2，
当t=2时，P点在直线BC下方，不符合题意，舍去，
当t=-1时，同①，
综上可知P点坐标为（-1，0）或（4，5）．

点评 本题为二次函数综合应用，涉及三角函数定义、待定系数法、函数与方程、三角形的面积及分类讨论思想等知识点．在（1）中求出A、C坐标是解题的关键，在（2）中求得直线BC解析式是解题的关键，在（3）用t表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量较大，综合性较强，难度较大．