Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2cm，AB=8cm，E是AB上一点，连接DE、CE．若满足∠DEC=90°的点E有且只有一个，则BC=________cm．

Answer 1

8
分析：取CD中点F，连接EF，作DH⊥BC，垂足为H，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形ABHD是矩形，利用矩形的对边相等得到AB=DH=8cm，AD=BH=2cm，若∠DEC=90°，则以D，E，C三点画圆，CD为直径，EF为半径，根据满足∠DEC=90°的点E有且只有一个，得到E就是圆的切点，利用切线的性质得到FE⊥AB，进而得到AD∥EF∥BC，利用平行线等分线段成比例得到E为AB中点，即EF为梯形的中位线，利用梯形中位线定理列出关系式，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式，得到CD=AD+BC，在直角三角形DHC中，利用勾股定理列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长．
解答：解：取CD中点F，连接EF，作DH⊥BC，垂足为H，
根据题意得：四边形ABHD是矩形，AB=DH=8cm，AD=BH=2cm，
若∠DEC=90°，则以D，E，C三点画圆，CD为直径，EF为半径，
∵满足∠DEC=90°的点E有且只有一个，
∴E就是圆的切点，
∴FE⊥AB，
∴AD∥EF∥BC，
∴EF是梯形的中位线，EF=（AD+BC），
∵EF=CD，
∴CD=AD+BC，
∵在Rt△DHC中，根据勾股定理得：CH²+DH²=CD²=（AD+BC）²，
∴（BC-2）²+8²=（BC+2）²，
整理得：8BC=64，
则BC=8cm．
故答案为：8
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，梯形中位线定理，圆周角定理，以及平行线等分线段成比例，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．