Question

如图，n+1个边长为1的等边三角形一边均在同一直线上，设△BMN面积为S，△B₁M₁N₁面积为S₁，△B₂M₂N₂的面积为S₂，…，△B_nM_nN_n的面积记为S_n，则：
①S=________，
②请你计算归纳S₁，S₂，…，可得S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=________．

Answer 1

    
分析：①连接BB₁，由于△BAN是边长为1的等边三角形，则S_△BAN=．由于BN∥B₁A且BN=B₁A，则四边形BNAB₁是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出BM=AM，则S=S_△BAN=；
②连接B₁、B₂、B₃…B_n点，显然它们共线且平行于NA_n，则B₁B₂∥NA，△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，根据相似三角形的性质得出B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，然后根据三角形的面积公式得出S₁=×S_△BAN，同理，可求出S₂=×S_△BAN，…，S₂₀₁₁=×S_△BAN，最后将它们相加即可．
解答：①连接BB₁．
∵△BAN是边长为1的等边三角形，∴S_△BAN=．
∵∠BNA=∠B₁AA₂=60°，∴BN∥B₁A，
∵BN=B₁A，∴四边形BNAB₁是平行四边形，
∴BM=AM，
∴S=S_△BAN=；
②连接B₁、B₂、B₃…B_n点，显然它们共线且平行于NA_n，则B₁B₂∥NA，
∴△B₁B₂N₁∽△ANN₁，△B₁B₂M₁∽△A₂NM₁，
∴B₁N₁：AN₁=B₁B₂：AN=1，B₁M₁：M₁A₂=B₁B₂：A₂N=1：2，
∴B₁N₁=AB₁，B₁M₁=A₂B₁，
∴S₁=×B₁N₁×B₁M₁sin∠N₁B₁M₁=×AB₁×A₂B₁sin∠N₁B₁M₁=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
同理，△B₂B₃N₂∽△A₂NN₂，△B₂B₃M₂∽△A₃NM₂，
∴B₂N₂：A₂N₂=B₂B₃：A₂N=1：2，B₂M₂：M₂A₃=B₂B₃：A₃N=1：3，
∴B₂N₂=A₂B₂，B₂M₂=A₃B₂，
∴S₂=×B₂N₂×B₂M₂sin∠N₂B₂M₂=×A₂B₂×A₃B₂=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
…，
∴S₂₀₁₁=×S_△BAN=（-）S_△BAN，
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₁=（-）S_△BAN+（-）S_△BAN+…+（-）S_△BAN=（-）S_△BAN=×=．
故答案为：①；②．
点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的定义和性质、三角形的面积公式等知识点、本题关键在于作好辅助线，得到相似三角形，求出相似比，就很容易得出答案了，意在提高同学们总结归纳的能力．