Question

已知：直线y=ax+b过抛物线y=-x²-2x+3的顶点P，如图所示．
（1）顶点P的坐标是______；
（2）若直线y=ax+b经过另一点A（0，11），求出该直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称，求直线y=mx+n与抛物线y=-x²-2x+3的交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²-2x+3=-（x ²+2x）+3=-（x+1） ²+4，
∴P点坐标为：（-1，4）；
故答案为：（-1，4）；

（2）将点P（-1，4），A（0，11）代入y=ax+b得：
，
解得：，
∴该直线的表达式为：y=7x+11；

（3）∵直线y=mx+n与直线y=7x+11关于x轴成轴对称，
∴y=mx+n过点P′（-1，-4），A′（0，-11），
∴，
解得：，
∴y=-7x-11，
∴-7x-11=-x ²-2x+3，
解得：x₁=7，x₂=-2，
此时y₁=-60，y₂=3，
∴直线y=mx+n与抛物线y=-x²-2x+3的交点坐标为：（7，-60），（-2，3）．
分析：（1）利用配方法求出图象的顶点坐标即可；
（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（3）利用关于x轴对称点的坐标性质，首先求出直线y=mx+n的解析式，进而得出直线y=mx+n与抛物线y=-x²-2x+3的交点坐标．
点评：此题主要考查了二次函数性质以及待定系数法求一次函数解析式和函数交点坐标求法，根据已知得出图象上对应点坐标是解题关键．