Question

20．在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，D、E分别在边AC、BC上，若CB=6，CA=8，高CH=$\frac{24}{5}$，则OD+DE+EO的最小值为10．

Answer 1

分析 如图，作点O关于AC的对称点O′，点O关于BC的对称点O″，连接O′O″．因为△ODE的周长=OD+DE+OE=O′D+DE+EO″，根据两点直径线段最短，可知当O′、D、E、O″共线时，△ODE的周长最小，最小值为O′O″，求出O′O″即可．

解答 解：如图，作点O关于AC的对称点O′，点O关于BC的对称点O″，连接O′O″．

∵△ODE的周长=OD+DE+OE=O′D+DE+EO″，
根据两点直径线段最短，可知当O′、D、E、O″共线时，△ODE的周长最小，最小值为O′O″，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，根据对称性可知，O′、C、O″共线，
∵AO=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴O′O″=2OC=10．
∴OD+DE+EO的最小值为10，
故答案为10．

点评 本题考查轴对称-最短问题、勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．