Question

如图，正方形AOCB的边长为4，点C在x轴上，点A在y轴上，E是AB的中点．
（1）直接写出点C、E的坐标；
（2）求直线EC的解析式；
（3）若点P是直线EC在第一象限的一个动点，当点P运动到什么位置时，图中存在与△AOP全等的三角形？请画出所有符合条件的图形，说明全等的理由，并求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）C（4，0）、E（2，4）；

（2）设直线EC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．
∵点C（4，0）、E（2，4）在该函数图象上，
∴点C（4，0）、E（2，4）满足该函数的解析式y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，，
∴直线EC的解析式为：y=-2x+8；

（3）当P与点E、C重合时，或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时，图中存在与△AOP全等的三角形（如图所示）；
证明：①当P与点E重合时．
在△AOE和△ECB中，
AO=BC（正方形的边长都相等），
AE=BE（E点是AB的中点），
∠OAE=∠CBE=90°（正方形的四个角都是直角），
∴△AOE≌△ECB，即△AOP≌△PCB（HL）；
此时P（2，4）；
②当P与点C重合时，不符合题意；
③当点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时．
在△AOP与△COP中，
OA=OC（正方形的边长），
OP=PO（公共边），
∠AOP=∠COP，
∴△AOP≌△COP（SAS）；
∴PA=PC（全等三角形的对应边相等）；
∵点P在直线EC上，
∴设P（x，-2x+8），
∴x²+（-2x+4）²=（x-4）²+（-2x+8）²，
解得，x=；
∴-2x+8=，
∴P（，）．
分析：（1）根据正方形的边长来求点C的横坐标，由E点是AB的中点求其横坐标是正方形边长AB4的一半，纵坐标是正方形边长AO的长度4；
（2）根据函数图象上的点的坐标特征解答．设直线EC的解析式为：y=kx+b（k≠0），然后将C、E两点代入，由待定系数法求解析式即可；
（3）要使所求的三角形与△AOP全等，当P与点E、C重合时，或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时．
点评：本题主要考查了一次函数综合题．本题需利用待定系数法和全等三角形的性质来解决问题，另外本题也是一道综合性较强的题目，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．