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    （2012•江宁区二模）如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
    （1）点C的坐标为
    （-3，1）
    （-3，1）
    ；
    （2）若二次函数y=
    1
    2
    x2-ax-2的图象经过点C．
    ①求二次函数y=
    1
    2
    x2-ax-2的关系式；
    ②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；
    ③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，然后利用“角角边”证明△ABO和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BO，CD=AO，然后求出OD，再根据点C在第二象限，写出点C坐标即可；
    （2）①把点C的坐标代入二次函数解析式求出a的值即可得解；
    ②把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得到函数值y的取值范围；
    ③分点A是直角顶点时求出点P的坐标，点B是直角顶点时求出点P的坐标，然后验证是否在二次函数图象上即可．
    解答：解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，
    ∵旋转角为90°，
    ∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，
    又∵∠BAO+∠ABO=90°，
    ∴∠CAD=∠ABO，
    在△ABO和△CAD中，
    ∵
    ∠CAD=∠ABO
    ∠AOB=∠CDA=90°
    AC=AB
    ，
    ∴△ABO≌△CAD（AAS），
    ∴AD=BO=2，CD=AO=1，
    ∴OD=AO+AD=1+2=3，
    ∴点C的坐标为（-3，1）；

    （2）①∵二次函数y=
    1
    2
    x2-ax-2的图象经过点C（-3，1），
    ∴
    1
    2
    ×（-3）2-（-3）a-2=1，
    解得a=-
    1
    2
    ，
    故二次函数的关系式为y=
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x-2；

    ②∵y=
    1
    2
    x2+
    1
    2
    x-2=
    1
    2
    （x+
    1
    2
    ）2-
    17
    8
    ，
    ∴当-1≤x≤4时，x=-
    1
    2
    时取得最小值y=-
    17
    8
    ，
    x=4时，取得最大值y=
    1
    2
    （4+
    1
    2
    ）2-
    17
    8
    =8，
    所以，函数值y的取值范围为：-
    17
    8
    ≤y≤8；

    ③（i） 当A为直角顶点时，延长CA至点P1，使AP1=AC=AB，则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点P1作P1E⊥x轴，
    ∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90°，
    ∴△EP1A≌△DCA，
    ∴AE=AD=2，EP1=CD=1，
    ∴可求得P1的坐标为（1，-1），
    经检验点P1在二次函数的图象上；
    （ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2=BP3=AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，
    作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO，
    则P2F=BO=2，BF=OA=1，
    可得点P2的坐标为（2，1），
    经检验P2点在二次函数的图象上，
    同理可得点P3的坐标为（-2，3），
    经检验P3点不在二次函数的图象上．
    综上所述：二次函数的图象上存在点P1（1，-1），P2（2，1）两点，使得△ABP1和△ABP2是以AB为直角边的等腰直角三角形．
    点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了旋转变换的旋转，全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的增减性以及等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，但难度不是很大，要注意分情况讨论．
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    3xx-1
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    x≠1
    ．

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